Vesna Vujačić	UDK 514.13
Osnovna škola „Đura Jakšić“, Beograd,	Stručni članak
Republika Srbija	Primljen: 15. VI 2014.

KLAJNOV MODEL HIPERBOLIČKE GEOMETRIJE

SAŽETAK: Hiperbolički geometrijski sistem (geometrija Lobačevskog) jeste neeuklidski sistem, pošto se od Euklidskog razlikuje samo u aksiomi paralelnosti. Da bi se uverili u neprotivrečnost istog neophodno je konstruisati model te geometrije u nekoj teoriji za koju pretpostavljamo da je neprotivrečna. Najpoznatiji modeli hiperbolične geometrije su Klajnov i Poencareov.
KLJUČNE REČI: hiperbolička geometrija, aksioma Lobačevskog, Klajnov model.

1. Euklidov V postulat i pojava neeuklidske geometrije

Euklidska geometrija je geometrijski sistem koji se zasniva na Hilbertovom sistemu aksi- oma. Apsolutna geometrija je zasnovana na prve četiri grupe Hilbertovog sistema aksioma. Uko- liko sistemu aksioma Apsolutne geometrije pridružimo Euklidov V postulat (Plejferovu aksiomu paralelnosti), dobijamo Euklidsku geometriju. Ali ako sistemu aksioma pridružimo aksiomu Lobačevskog , dobijamo Hiberboličku geometriju (neeuklidsku geometriju). Lobačevski1 je novi geometrijski sistem izgradio tako što je peti Euklidov peti postulat u Hilbertovom sistemu aksi-
oma zamenio novom aksiomom : [1]
Aksioma Lobačevskog 1.1.: U ravni, kroz tačku P van prave p, prolaze najmanje dve prave koje ne seku datu pravu. Za tačku P i pravu p kažemo da imaju svojstvo Lobačevskog.
Pošto je peti postulat nezavisan od aksioma apsolutne geometrije, Lobačevski pristupa problemu indirektno. Kako je aksioma 1.1. protivrečna aksiomi paralelnosti Hilbertovog sistema aksioma, to se geometrijski sistem zasnovan na prve četiri grupe aksioma Hilbertovog sistema aksioma i aksiomi Lobačevskog razlikuje od Euklidske geometrije.

avn
ma
.

Definicija 1.4.1. Geometrijski sistem zasnovan na prve četiri grupe aksioma Hilbertovog siste- ma, i aksiomi Lobačevskog 1.1, naziva se geometrija Lobačevskog ili hiperbolička geometrija. Prostor čije tačke, prave i r i stoje u međusobnim odnosima koji zadovoljavaju zahteve aksi- oma prve četiri grupe aksio     Hilbertovog sistema i aksiome Lobačevskog se zove hiperbolički
prostor i obeležava se sa ℋ
Teorema 1.3. Sledeći iskazi su ekvivalenti aksiome Lobačevskog:
1.	Ugao paralelnosti je oštar.
2.	Zbir unutrašnjih uglova svakog trougla je manji od π.
3.	Zbir unutrašnjih uglova svakog prostog ravnog četverougla je manji od 2π.
4.	Zbir unutrašnjih uglova bilo kog pravilnog n-tougla hiperbolične ravni je manji od (n − 2)π.
5.	Uglovi na protivosnovici Sakerijevog četverougla su oštri.
6.	Postoji prava u ravni oštrog ugla koja je normalna na krak tog ugla, a ne seče njegov drugi krak.
7.	Trougao je određen svojim uglovima pa zato ne postoje slični trouglovi.

*vujacicvesna@gmail.com
1	Nikolaj Ivanovič Lobačevski ruski matematičar (1792–1856).
1	

8.	Postoji trougao najveće površine.
9.	Skup tačaka jednako udaljenih od prave nije prava.
10.	Postoji apsolutna jedinica za merenje dužine... [2]
U apsolutnoj geometriji bilo je moguće dokazati pet stavova o podudarnosti trouglova. Pored pet navedenih stavova, u hiperboličkoj geometriji će važiti još jedan, takozvani šesti stav o podudarnosti trouglova kojim se karakteriše hiperbolički prostor.
Teorema 1.4. Dva trougla su podudarna ako i samo ako su im odgovarajući uglovi medjusobno podudarni.
Posledica 1.5. U hiperboličkoj geometriji svaka sličnost je podudarnost.
Većina teorema hiperboličke geometrije razlikuje se od euklidskih. S druge strane, u malim delovima hiperboličke ravni svi odnosi su približno euklidski.

2. Hiperbolička geometrija
Geometrija Lobačevskog može se posmatrati na hiperboloidu u ℛ3, zbog čega i dobija naziv hiperbolička geometrija. Da bi se uverili u neprotivrečnost planimetrije Lobačevskog neo-
phodno je konstruisati model te geometrije u nekoj teoriji za koju pretpostavljamo da je ne- protivrečna.
Najpoznatiji modeli hiperbolične geometrije su Bertrami – Klajneov2 i Poencareov. [3]
Baratmo sa poljem (ℛ,+, ・). Takođe ℛ2 je vektorski prostor nad ℛ.

Definicija 2.1. Neka su x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ ℛ2. Definišemo skalarni proizvod	: ℛ2 x ℛ2 → ℛ

Definicija 2.2 U unitarnom prostoru ℛ2 definišimo funkciju	: ℛ2 → ℛ koju nazivamo
norma koja preslikava	.

Uz tu normu (ℛ2,	) je normirani prostor. [4]
Tražimo ravan koja ima barem dve paralele kroz jednu tačku. Označavaćemo je sa	.
Posmatrajmo funkciju f : ℛ3 x ℛ3 → ℛ,	f : (x, y) →x1y1 + x2y2 − x3y3.

Lema 1.  f ima svojstva skalarnog proizvoda osim pozitivne definisanosti.
Definicija 2.3. Neka je f bilinearna forma definisana u ℛ3  na sledeći način:
f	) =	,
gdje je	=(x1,x2,x3) i	=(y1,y2,y3). f nazivamo kvaziskalarni proizvod.
Definicija 2.4. Funkciju  × : ℛ3 x ℛ3 → ℛ3   koja vektorima  u, v ∈ ℛ3 pridružuje vektor  z ∈ ℛ3
takav da je za svaki x ∈ ℛ3 važi  f (x, z) = det(x, u, v).
Definicija 2.5. Za nenula vektor v⃗ ∈ ℛ3 kažemo da je
1.	prostorni vektor (p-vektor) ako je f (v⃗ ,v⃗ ) > 0. Posebno, ako je f (v⃗ ,v⃗)= 1, kažemo da je v⃗  jedinični prostorni vektor.
2.	vremenski vektor (v-vektor) ako je f (v⃗ ,v⃗ ) < 0. Posebno, ako je f (v⃗ ,v⃗) = −1, kažemo da je v⃗  jedinični vremenski vektor.
3.	svetlosni vektor (s-vektor), ako je f (v⃗ ,v⃗ )=0.

2	Feliks Kristijan Klajn, nemački matematičar; 1849–1925.
1	

Vektor	je  normiran  s  obzirom  na  formu   f   ako  je  on  jedinični  prostorni  ili  jedinični vremenski vektor. [5]
Definicija 2.6. Dva vektora	i	su ortogonalna s obzirom na formu f ako je	)=0.
Definicija 2.7. Dužinu vektora │v⃗│definišemo kao │v⃗│= .
Lema2.  Sa	×f	označavamo vektorski proizvod vektora  x⃗  i  y⃗  s obzirom na formu  f. Taj proizvod je ortogonalan na vektore x⃗  i y⃗  s obzirom na formu f.
Lema3. Svaki ortonormirani skup u ℛ3 je baza.
Lema 4. Ako je {u, v} ortonormirani par, onda je {u × v, u, v} ortonormirana baza.
Može se pokazati da svaka ortonormirana baza obzirom na formu  f  u ℛ3 sadrži dva prostorna i
jedan vremenski vektor.
Lema 5. Za svaki p tj. za svaki v- vektor postoji ortonormirana baza koja ga sadrži.
Lema 6. Za svaki x ∈ ℛ3 i ortonormiranu bazu {e1, e2, e3} važi da je
x =	.
Lema 7. Ako su v i w vektori, onda je f (v,w)2 ≥ f (v, v) f (w,w).
Definicija 2.8. Poluprava sa početkom u tački P i vektorom v je skup P + αv, α ∈ ℛ+.
Definicija 2.9. Ugao je unija dve poluprave sa zajedničkim početkom.
Definicija 2.10. Mera ugla određenog jediničnim vektorima u i v je broj	.
3.	Model hiperboličke ravni Definicija 3.1. Hiperbolička ravan je skup
ℋ2 = {X ∈ ℛ3∣ X=(x1,x2,x3), x3 > 0, f (rx,rx)= −1},
gde je sa rx  označen radijus vektor tačke X.
Napošemo li uslov iz definicije hiperboličke ravni	f   (rx,rx) = −1 i uzmemo li u obzir da se posmatraju samo tačke kojima je treća koordinata pozitivan broj, zaključujemo da hiperboličku
ravan u ℛ3 možemo prikazati kao gornju polutku hiperboloida zadanog jednačinom
x21+x22−x23= −1 kojoj je teme u tački (0,0,1).
Definicija 3.2. Prava sa polom e⃗ u hiperboličkoj ravni je skup p ={X∈ ℋ2 ∣  f (e⃗ ,rx)=0 }, gde je   e⃗ =(e1,e2,e3)   jedinični  prostorni  vektor.  Vektor   e⃗  zovemo  vektorom  normale  prave p.
Posmatramo	li	grafički,	prava	u	hiperboličkoj	ravni	je	presek	ravni	s	vektorom
normale (e1,e2,−e3) koja  sadrži  koordinatni  početak  koordinatnog  sistema  i  gornje  polutke
hiperboloida, tj. grana hiperbole u ℛ3
Teorema  3.3. Neka  su P i Q dve  različite  tačke  ravni ℋ2.  Tada  postoji  jedinstvena  prava ravni ℋ2 koja sadrži tačke P i Q. [6]
Dokaz: Neka su P i Q različite tačke ravni ℋ2. Tada je f (rP,rP)= −1 i f (rQ,rQ)= −1.
Neka je p={X ∈  ℋ2∣  f (e⃗ ,rx)=0}, f (e⃗ ,e⃗ )=1. Ako tačka P pripada pravoj p, onda je f(e⃗ ,rP)=0. Isto tako, ako tačka Q pripada pravoj p, onda je f(e⃗ ,rQ)=0. Sledi da je e⃗ proporcionalan vektoru rP ×f rQ i e⃗ je jedinični vektor. Treba proveriti dali je e⃗ prostorni vektor. Znamo da je {rP,e⃗ } ortonormirani par vektora i da je rP vremenski vektor. Možemo dopuniti taj skup do ortonormirane baze od ℛ3 (s obzirom na formu f ) pa sledi da je e⃗  prostorni

vektor. Jedinstvenost je posledica činjenice da postoji samo jedan jedinični prostorni vektor proporcionalan vektoru rP ×f  rQ.
Ovom teoremom smo pokazali da uvedeni model hiperboličke ravni zadovoljava prvu aksiomu incidencije.

3.1.	Međusobni odnos dve prave

Definicija 3.4. Neka su p i q prave ravni ℋ2 sa jediničnim vektorima normale (polovima) e⃗  i v⃗ .
1.	Ako je e⃗ ×f  v⃗ (v-vektor) vremenski vektor, kažemo da se prave p i q seku.
2.	Ako je e⃗ ×f  v⃗  (s-vektor) svetloliki vektor, kažemo da su prave  p i q	paralelne
3.	Ako je e⃗ ×f  v⃗ (p-vektor) prostorni vektor, kažemo da su prave  p i q
hiperparalelne (ultraparalelne). [7]
Lema 8. Prave u ℋ2 se seku ako i samo ako imaju zajedničku tačku.
Teorema 3.5. Ako su p i q prave ravni  ℋ2 s jediničnim vektorima  normale  e⃗  i  v⃗  takvim da je e⃗ ×f v⃗ vremenski vektor, tada postoji jedinstven presek pravih p i q čiji je radijus vektor proporcionalan vektoru e⃗ ×f  v⃗ .
Dokaz:  Neka su  p ={x∈ ℋ2 ∣ f (e⃗ ,rX)=0}  i  q={x∈ ℋ2 ∣ f (v⃗ ,rX)=0} prave hiperboličke ravni  koje  se  seku.  Tada  je f  (e⃗ ×f	v⃗ ,  e⃗ ×f	v⃗ )  <  0.  Označimo  tačku  preseka sa S. Tačka S pripada	pravoj		p pa	je f(e⃗ ,rS)=	0. Analogno,		tačka S pripada	pravoj q pa je f(v⃗,rS)=0. Sledi  da  je rS	proporcionalan  vektoru		e⃗ ×f	v⃗  i  jedinični.  Kako  je e⃗ ×f v⃗  vremenski vektor, zaključujemo da je rS jedinični vremenski vektor pa je samim time S∈ ℋ2.
Posledica ovog dokaza je i činjenica da ni paralelne ni ultraparalelne prave nemaju ni
jednu zajedničku tačku.

Definicija 3.6. Za prave p i q sa odgovarajućim polovima e⃗  i v⃗ kažemo da su normalne ako su njihovi polovi ortogonalni, tj. ako je f(e⃗,⊥). Pišemo p ⊥ q.
Lema 9. Dve prave imaju zajedničku normalu ako i samo ako su hiperparalelne, pri čemu još
važi da je ta normala jedinstvena.
Lema 10. Ako je p ⊥ q, onda se p i q seku.
4. Sferna ravanska geometrija

Moguće je posmatrati hiperboličku ravan i kao podskup projektivne ravni. Pre razma- tranja Klajnovog modela hiperboličke ravni uvešćemo osnovne pojmove iz projektivne ravanske geometrije. [8]
Sfernu ravansku geometriju možemo proučavati u sledećem modelu.

u × v je vektor z ∈ ℛ3, ozn.  u × v = z	za koji važi		= det [x, u, v].	
Lema 4.1.1.	=	= 0.			
Lema 4.1.2.
Lema 4.1.3.
Lema 4.1.4.	u × v = v × u. (u × v) × w =
u × v = 0 ⇔  ∃λ ∈ ℛ	

u = λv .	
.	

Definicija 4.1. Neka su u, v ∈ ℛ3.

Lema 4.1.5.	=
Lema 4.1.6.	|u × v|2 = |u|2|v|2 −	2.
Definicija 4.2. Ortnormirana baza u ℛ3 je baza u kojoj su vektori međusobno normalni i dužine 1.
Definicija 4.3. Ravan u Ɛ3 je jednoznačno određena smerom i tačkom.
Lema 4.4. Ravan je neprazan netrivijalan skup  Π  u Ɛ3 koji ima svojstvo da nije prava ni Ɛ3, a za
svake dve tačke A i B u Π prava AB ⊂ Π.
Lema 4.5. Neka su PQR tri nekolinearne tačke. Tada postoji i jedinstvena je ravan koja ih sadrži.
Tu ćemo ravan označavati sa	.
Teorema 4.6.. Neka je P ∈ Ɛ3 i n jedinični vektor.
Onda je skup	ravan koja sadrži tačku P.
Definicija 4.7. Vektor n iz prethodne teoreme nazivamo normalom ravni.
Definicija 4.8. Sferna ravan je skup
Tačke su elementi od	u trodimenzionalnom euklidskom prostoru, a prave velike kružnice koje pripadaju toj sferi. Prave su preseci	gde je	0 ravan.
Teorema 4.9. Za svaku pravu p u	postoje dve tačke ξ∈	i − ξ ∈	za koje važi
za svako  P ∈ p. U smislu  Ɛ3   tačke ξ ,0 i − ξ su kolinearne. Te tačke
zovemo polovima i one su jedinstvene (nema drugih polova).

Definicija 4.10. Tačke X i Y sferne ravni	su antipodalne ako je rX = −rY. X, 0, i Y su kolinearne u smislu Ɛ3.
Lema 4.11. Neka je p prava u	. Ako je X∈ p, onda je −X∈ p.
Lema 4.12 Neka su X,Y∈	,	. Tada postoji jedinstvena prava p koja ih sadrži.
Lema 4.13. Svake dve prave u	seku se u dve antipodalne tačke.

4.1.	Projektivna ravanska geometrija

Kako su svi modeli geometrije Lobačevskog na neki način povezani sa projektivnom geometrijom u sledećem poglavlju napravićemo kratak osvrt u tu geometriju .
Skup	={{X,−X } ∣ X∈	} je model projektivne ravni.
Figure projektivne ravni sastoje se od određenog broja tačaka i pravih, dok se figure
projektivnog prostora sastoje od određenog broja tačaka, pravih i ravni. [9] Definicija 4.14. Bilo koji skup komplanarnih tačaka i pravih zvaćemo ravanskom figurom.
Bilo koji skup tačaka, pravih i ravni u projektivnom prostoru zvaćemo prostornom figurom. De-
finicija 4.15. Tačke projektivne ravni	su skupovi { X,−X} za X∈	.
Označimo sa  F:	→	preslikavanje koje tački sferne ravni pridružuje tačku projektivne
ravni definisano sa	F( X )={ X, −X }.
Definicija 4.16. Neka je p prava u	. Tada je Πp prava u	.

Teorema 4.17. Projektivna tačka Πx  je na projektivnj pravoj Πp s polom Πξ ako i samo ako je
.
Definicija 4.18. Za tačku Πx kažemo da je normalna na tačku Πy ( Πx	Πy) ako i samo ako je
X	Y odnosno		. Za prave kažemo da su normalne akko su im polovi normalni. Lema 4.19. U	dve prave imaju zajedničku tačku i ona je jedinstvena. U	za svake dve tačke postoji jedinstvena prava koja ih sadrži.
Teorema 4.20. Jednačina prave sa polom ξ je	.
Definicija 4.21.  Neka je {	} baza od ℛ3. Tada za svaki		∈ ℛ3 postoji jedinstvena trojka realnih brojeva (x1,x2,x3) takva da je	=x1	+x2	+x3	.
Neka	je F(X) tačka	ravni	,	a λ proizvoljan	realan	broj	različit	od	nule	i
λ	=u1	+u2	+u3	.
Trojku (	) zovemo homogenim koordinatama tačke F(X).
Lema 4.22. Ako su P,Q,R, S ∈	, među kojima nema kolinearnih trojki, tada u ℛ3 postoji baza
takva da su homogene koordinate tih tačaka P = (1, 0, 0),Q = (0, 1, 0),R = (0, 0, 1) i S = (1, 1, 1).
Lema 4.23. Ako su x, y homogeni koordinatni vektori dve različite tačke iz	, onda je prava kroz te dve tačke skup svih tačaka čiji su homogeni koordinatni vektori oblika λx + μy, gde su λ,
μ ∈ ℛ.
Definicija 4.26. Neka je bf  proizvoljna bilinearna forma. Ako je {	} baza od ℛ3, tada
je

gde
su (x1,x2,x3) i (y1,y2,y3) komponente vektora rX i rY, a	B=[bij]=[bf(	)]
matrica kojoj je u i −toj vrsti i j −toj koloni vrednost	bf (	),	i,j∈{1,2,3}.
Definicija  4.27.  Neka  je bf   proizvoljna  bilinearna  forma.  Ako  je {	} baza  od i

Teorema 4.28. Ako je		)=	=x1y1+x2y2−x3y3 , tada je B =		,	
a konika je skup tačaka	{ F(X) ∣		=0} = { F(X) ∣	=0 }.		

B=[bij]=[bf(	)] , i,j∈{1,2,3} .
Konika u projektivnoj ravnini je skup { F(X) ∣	=0 }.

4.2.	Klajnov model. Odnos prema euklidskoj ravni
Neka je	={ X ∈	∣		< 0} podskup ravni	, unutrašnjost konike u ravni	. Tačke za koje je		> 0 pripadaju spoljašnjosti konike.
p∞ je prava projektivne ravni određena jednačinom  x3=0, odnosno svaka tačka koja pripada toj pravoj ima treću koordinatu jednaku 0. [10]

Definicija 4.29. Neka je f: Ɛ2→ funkcija koja svakoj tački ( , , 1) ravni Ɛ2 ( koju predstavljamo sa ravn1  x3=1 u Ɛ3) pridružuje tačku (x1,x2,x3) ravni  sa homogenim koordina- tama.
Lema 4.30. Preslikavanje f je bijekcija ako kodomen od f restringiramo na	∖p∞.
Lema 4.31. p∞ označava skup tačaka	koje nisu slika ni jedne tačke iz Ɛ2.
Definicija 4.32. Odaberimo pravu p∞ = p	, njen pol označimo homogenim koordinatama (0, 0, 1), a p∞ sa ( x, y, 0 ). Definišemo preslikavanje
∖p∞ → Ɛ2  koje (x1,x2,x3) → (	,	, 1).
Lema 4.33. Ako je	prava u Ɛ2 , onda je	p∞ projektivna prava bez jedne tačke.
Lema 4.34. f  je bijekcija skupa pravih( koje nemaju presek sa p∞ )    iz	bez	p∞ u skup euklidskih pravih.
Teorema 4.35. Slike euklidskih pravih koje su paralelne preko  f  su delovi pravih u	koje se seku u p∞. Kažemo da se euklidske prave seku u beskonačno dalekoj tački.
Definicija 4.36	Disk	možemo posmatrati kao skup tačaka za koje važi	< 1

ravni x3=1 u Ɛ3.  S obzirom na  f, konika { F(X) ∣	=0} projektivne ravni je slika kružnice {(x1,x2)∣	=1} u Ɛ2.
Lema 4.37. Važe sledeća tvrđenja:
•	Uobičajena	projekcija	(homogene	koordinate)	Π:	ℛ3∖{0}→	bijektivno	pres- likava ℋ2 na
•	Za svaku tačku X koja pripada spoljašnjosti konike postoji par jediničnih prostornih vek-
tora {rY,−rY} takav da je F(Y )=F(−Y )=X. Obratno, svaki jednični prostorni vektor određuje jednu spoljašnju tačku konike.
•	Tačka X pripada koniki ako i samo ako je rX svetlosni vektor.
•	Neka je p prava u ravni ℋ2. Tada je Πp tetiva konike bez krajnjih tačaka.
•	Ako  je p prava  ravni  ℋ2, onda  je Πp sadržana  u  jedinstvenoj  pravoj	ravni	. Prave ravni	koje su sekante konike sadrže sliku pravih ravni ℋ2.
Na taj način dobili smo disk u	(ili Ɛ2) na kojem možemo posmatrati hiperboličku ravansku geometriju.
Hiperboličku geometriju na disku uveo je Klajn pa se zbog toga disk definisan na ovaj način zove Klajnov disk [11]

Teorema 4.38. Svake dve različite tačke Klajnovog modela određuju jedinstvenu pravu Klajno- vog modela hiperboličke ravni.
Dokaz: Tvrđenje iz teoreme proizlazi direktno iz prethodno navedenih tvrđenja i Teoreme 3.3

Lema 4.39.	ℋ2	Ɛ2

Definicija 4.40	Sa  π  nazovimo centralnu projekciju  π : ℛ3 →	restringiranu na ℋ2. Na-
zovimo sa	skup	.

Lema 4.41 Važe sledeća tvrđenja:
•	

Za svaku tačku T ∈	izvan	postoji jedinstveni par  {ξ,−ξ}  jediničnih p-vektora takvih da je πξ = π − ξ = T
•	

v ∈ ℛ2 je s-vektor ako i samo ako je πv ∈ ∂
•	je otvoreni krug u Ɛ3.
•	

U terminima opisanog modela ako je p prava u ℋ2  onda je	π >p	otvorena tetiva od
otvorenog kruga	.

Definicija 4.42 Projektivnu  pravu	zovemo nosačem hiperboličke prave p ako je π >  p ⊆
    .
Teorema 4.43.  Neka su p i q prave ravni ℋ2 s jediničnim vektorima normale e⃗
i f⃗   i neka su	i	tetive diska	koje su slike pravih p i q s obzirom na projekciju Π. Neka
su p′ i q′ prave u	koje sadrže	i	. Tada važi:
1.	Prave p i q se seku ako i samo ako se p′ i q′ seku u unutrašnjosti
2.	Prave p i q su paralelne ako i samo ako se p′ i q′ seku na ivici
3.	Prave p i q su ultraparalelne ako i samo ako se p′ i q′ seku u spoljašnjosti od
Dokaz: Svakoj pravoj p ravni ℋ2 na jedinstven način pridružena je prava	u	odnosno prava
p′ u	. Dakle, dovoljno je proveriti seku li se prave p′ i q′ u unutrašnjosti diska. Iz uslova da
se prave p i q seku, prema Teoremi 3.5. one se seku u jedinstvenoj tački čiji je radijus vektor
proporcionalan vektoru e⃗ ×f	. Iz Definicije 3.4.  znamo da je f (e⃗ ×f	, e⃗ ×f	) < 0, što određuje tačku u unutrašnjosti		. Analogno se dokazuju i ostala tvrđenja.
Definicija 4.44. Za dve prave u Ɛ2 kažemo da su konjugovane u odnosu na kružnicu ako je pol na polari druge.
Lema 4.45 Važe sledeća tvrđenja:
•	Hiperboličke prave p1 i p2 su normalne ako i samo ako su	1 i	2 konjugovane.
•	Činjenica da prave koje se seku ili su paralelne u hiperbolićkoj ravni nemaju zajedničku normalu znaći da prav kroz polove tih tetiva ne prolazi kroz kružnicu.
•	U ℋ2 postoje dve paralele na pravu kroz tačku van prave.
•	Ne postoji četvorougao sa četiri prava ugla.
•	Postoji petougao sa 5 pravih uglova.
•	

Pitagorina teorema u   Ɛ2 :	c2 = a2 + b2,	:	cosc = cosa cosb,	ℋ2 :   chc = cha chb.
5. Zaključak

Svi objekti geometrije Lobačevskog mogu se tako interpretirati unutar euklidske ge- ometrije da su tada svi stavovi geometrije Lobačevskog tačni u okviru euklidske geometrije. Drugim rečima nađen je model geometrije Lobačevskog unutar euklidske geometrije. Tako je dokazano da je geometrija Lobačevskog neprotivrečna pod uslovom da je sama euklidska geometrija neprotivrečna. Time je ujedno dokazana i nezavisnost aksioma paralelnosti od ostalih aksioma, jer je konstruisan model u kojem važe sve aksiome euklidske geometrije, osim aksiome paralelnosti, tj. važi njena negacija.

LITERATURA
Euklid (1957). Elementi. Beograd: Srpska akademija nauka i umetnosti.
Lučić, Z. (1997). Euklidska i hiperbolična geometrija. Beograd: Total design i Mate- matički fakultet.
Ryan, P. J. (1991). Euclidean and non-Euclidean Geometry – an Analytic Approach.
Cambridge Univ. Press, Cambridge
Mintaković, S. (1962). Aksiomatska izgradnja geometrije. Zagreb: ŠK.
Vukmirović, S. Modeli geometrije Lobačevskog http://alas.matf.bg.ac.yu/vsrdjan/files/osnove.htm. (10. 05. 2014.)
Anderson (2005). Hyperbolic Geometry, London:second edition, Springer-Verlag, Lopandić, D. (1979). Geometrija. Beograd: Naučna knjiga.
Prvanović, M. (1971). Neeuklidske geometrije. Novi Sad: Savez studenata Prirodno- matematičkog fakulteta.
http://www.doiserbia.nb.rs/(1.12.2013.)
http://e.math.hr/category/klju-ne-rije-i/hiperboli-ka-ravnina 13.5.2014. http://mathbiv.wordpress.com/2013/05/20/matematicka-knjiga-sa-najvecim-brojem-
izdanja/ 14.05.2014.

Vesna Vujačić

HYPERBOLIC GEOMETRY IN KLEIN’S MODEL

Summary

Hyperbolic geometry (also called Lobachevskian geometry) is a non-Euclidean geometry, meaning that the parallel postulate of Euclidean geometry is replaced. In order to make sure that it is  uncontroversial, it is necessary to construct this geometry model as a part of a theory for which we assume that it is uncontroversial. The best known models of hyperbolic geometry are Klein and Poincaré’s model.
Key words: hyperbolic geometry, Lobachevsky proposition, Klein model.